Teorema di Bayes o della probabilità delle cause

La probabilità governa le nostre vite. Ogni giorno viene usata, in automatico, come ci mostra il teorema di Bayes che vi spiegheremo in questo articolo.

Scritto e verificato la psicologa Paula Villasante.

Ultimo aggiornamento: 02 gennaio, 2023

Il teorema di Bayes è uno dei pilastri del calcolo delle probabilità. È una teoria avanzata da Thomas Bayes (1702-1761) nel XVIII secolo. Ma qual è lo scopo delle ricerche di questo famoso scienziato? La probabilità esprime, in un processo casuale, il rapporto tra il numero di casi “favorevoli” e il numero di casi “possibili”.

Sono state sviluppate molte teorie sulla probabilità che oggi governano la nostra esistenza. Quando andiamo dal medico, egli ci prescrive il farmaco che più probabilmente si rivelerà utile al nostro caso, così come gli inserzionisti dedicano le loro campagne alle persone che hanno maggiori probabilità di acquisire il prodotto che vogliono promuovere o, ancora, i turisti e viaggiatori che scelgono il percorso in cui è probabile che ci sia meno coda.

La legge della probabilità totale è tra le più famose, dunque prima di parlare del teorema di Bayes, dovremo dedicare qualche riga alla spiegazione della prima. Per cercare di comprenderla, basterà fare un esempio. Diciamo che, in un paese a caso, il 39% della popolazione è composta da sole donne. Sappiamo anche che il 22% delle donne e il 14% degli uomini sono disoccupati.

Qual è la probabilità (P) che una persona scelta a caso dalla popolazione attiva in questo paese sia disoccupata?

Secondo la teoria della probabilità, i dati sarebbero espressi come segue:

• La probabilità che la persona sia femmina: P (M)
• La probabilità che la persona sia maschio: P (H)

Sapendo che il 39% della popolazione è costituito da donne, deduciamo che: P (M) = 0,39.

È quindi chiaro che: P (H) = 1 – 0,39 = 0,61. Anche il problema posto all’inizio ci dà le probabilità condizionali:

• Probabilità che una persona sia disoccupata, sapendo che è donna -> P (P | M) = 0,22
• Probabilità che una persona sia disoccupata, sapendo che è maschio – P (P | H) = 0,14

Usando la legge della probabilità totale avremo:

P (P) = P (M) P (P | M) + P (H) P (P | H)

P (P) = 0,22 × 0,39 + 0,14 × 0,61

P (P) = 0,17

Le probabilità che una persona scelta a caso sia disoccupata sarà 0,17. Osserviamo che il risultato è a metà tra le due probabilità condizionali (0,22 <0,17 <0,14). Inoltre, è più prossimo al valore degli uomini perché, nella popolazione di questo paese immaginario, sono la maggioranza.

Scopriamo il teorema di Bayes

Supponiamo ora che una persona adulta venga scelta a caso per compilare un modulo e si osservi che non ha lavoro. In questo caso, e tenendo conto dell’esempio precedente, qual è la probabilità che questa persona scelta a caso sia una donna -P (M | P) -?

Per risolvere questo problema applicheremo il teorema di Bayes, che viene usato per calcolare la probabilità di un evento possedendo in anticipo delle informazioni sullo stesso. Possiamo calcolare le probabilità di un evento A sapendo che soddisfa determinate caratteristiche (B).

In questo caso, parliamo della probabilità che la persona scelta a caso per compilare un modulo sia una donna. Ma essa non sarà indipendente dal fatto che la persona selezionata sia disoccupata o meno.

La formula del teorema di Bayes

Come ogni altro teorema, abbiamo bisogno di una formula.

Sembra complicato, ma tutto ha una spiegazione. Ragioniamo per parti. Cosa significa ogni lettera?

• B è l’evento su cui abbiamo informazioni preliminari.
• La lettera A (n) si riferisce ai diversi eventi condizionati.
• Nella parte del numeratore abbiamo la probabilità condizionata. Questo si riferisce alla probabilità che qualcosa (un evento A) si verifichi, sapendo che si verifica anche un altro evento (B). È definito come P (A | B) ed è espresso come: La probabilità di A data B.
• Nel denominatore, abbiamo l’equivalente di P (B) e segue la medesima spiegazione del punto anteriore.

Un esempio

Tornando all’esempio precedente, supponiamo che un adulto venga scelto a caso per compilare un questionario e si osservi che è disoccupato. Quali saranno le probabilità che questa persona prescelta sia di sesso femminile?

Sappiamo che il 39% della popolazione attiva è formata da donne , mentre il resto da uomini. Inoltre, conosciamo la percentuale di donne disoccupate, 22%, e quella degli uomini, 14%.

Infine, sappiamo anche che le probabilità che una persona scelta a caso sia disoccupata è dello 0,17. Se applichiamo la formula del teorema di Bayes, il risultato che otterremo è che esiste una probabilità dello 0,5 che una persona scelta a caso tra i disoccupati sarà donna.

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (0,22 * 0,39) / 0,17 = 0,5

Il teorema di Bayes deriva dalla congiunzione del teorema della probabilità composta e di quella assoluta, che abbiamo spiegato all’inizio. La sua caratteristica principale è che funziona in tutte le interpretazioni della probabilità.

Dal momento che può essere usato per calcolare la probabilità di una causa, che ha scatenato l’evento, la sua importanza risiede nel modo in cui storicamente ha inciso sullo studio della statistica. Oggi, infatti, si conoscono due scuole principali (una frequentista e l’altra, appunto, bayesiana) che si contrappongono a partire dall’interpretazione che si dà a questa teoria.

Chiudiamo con una curiosità: sapevate che lo spam elettronico (quello di Internet, email, annunci pubblicitari) funziona proprio grazie al teorema di Bayes?